クローン禁止定理の証明

量子ビットの情報を複製できるユニタリ演算子 \(U_{CLONE}\) があったとする。 このとき、任意の状態の量子ビット \(|🍎\rangle\), \(|👶\rangle\) について、次が成り立つとする。

\[\left\{ \begin{array}{l} U_{CLONE}(|🍎\rangle|0\rangle) = |🍎\rangle|🍎\rangle \\ U_{CLONE}(|👶\rangle|0\rangle) = |👶\rangle|👶\rangle \end{array} \right.\]

1 番目の式から、

$$(\langle 0|\langle 🍎|)U^{\dagger}_{CLONE} = \langle🍎|\langle🍎|$$

この式と 2 番目の式の両辺で内積を取ると、

$$\begin{array}{l} &(\langle 0|\langle🍎|)U^{\dagger}_{CLONE}U_{CLONE}(|👶\rangle|0\rangle) = \langle🍎|\langle🍎|👶\rangle|👶\rangle \\ \Rightarrow &\langle 0|\langle🍎|👶\rangle|0\rangle = \langle🍎|\langle🍎|👶\rangle|👶\rangle \\ \Rightarrow &\langle🍎|👶\rangle\langle 0|0\rangle = \langle🍎|👶\rangle\langle🍎|👶\rangle \\ \Rightarrow &\langle🍎|👶\rangle = (\langle🍎|👶\rangle)^2 \\ \end{array}$$

よって \(\langle🍎|👶\rangle\) は \(0\) または \(1\) となり、\(|🍎\rangle\) と \(|👶\rangle\) が任意であることに矛盾する。 以上より、そのようなユニタリ演算子 \(U_{CLONE}\) は存在しない。